Часть 0 - пролог

Уважаемые студенты! Сегодня мы погрузимся в глубины термодинамики, где интуитивное понимание уступает место строгой математической формализации, приготовьтесь к тому, чтобы ваши представления о тепле, работе и энергии были радикально пересмотрены. Итак часть, первая... Фундаментальные постулаты термодинамики в тензорной формулировке, пожалуй начнём с первого начала термодинамики, записанного в ковариантной форме: dU=δQ−δW+i∑​μi​dNi​, где: U - внутренняя энергия системы, δQ элементарное количество теплоты, полученное системой и не являющейся полным дифференциалом, δW элементарная работа, совершённая системой, μi​ химический потенциал i-го компонента, а Ni​ количество частиц i-го компонента. - Гелн, ты куда смотришь? Я здесь вообще-то... Если ты смотришь на курсантку Нихель, то... - Нет! Я... Просто смотрел на своего друга, он... - Тогда молодой человек, у меня плохие новости... Если ты между Нихель и Дзугаром выбрал последнего. - после слов профессора аудитория наполнилась смешками, стихнувшими как только он продолжил лекцию. Обращаю ваше внимание на то что δQ и δW не являются функциями состояния, что принципиально отличает их от dU, это означает, что их значения зависят от пути процесса, а не только от начального и конечного состояний. Теперь рассмотрим работу в общем случае анизотропной среды: δW=σij​dεij​ где σij​ это тензор напряжений, а εij​ тензор деформаций. В изотропном случае это сводится к классической формуле δW=pdV, но мы не будем ограничиваться столь тривиальными случаями, и рассмотрим второе начало и энтропию от Клаузиуса до Пригожина. Второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса гласит: ∮TδQ​≤0, где знак равенства относится к обратимым процессам, а неравенство к необратимым. - Необратимым, таким же как ваша тупость! Девять лет вы обучаетесь в этой академии, а я вам не то что звездолёт доверить не могу, а даже гравцикл не доверю! Введём понятие энтропии S как функции состояния dS≥TδQ​, для изолированной системы dS≥0, что является математическим выражением принципа возрастания энтропии, в неравновесной термодинамике Пригожина где энтропия становится функционалом от потоков и сил: dtdS​=dtdi​S​+dtde​S​, где dtdi​S это​ производство энтропии внутри системы, всегда ≥0, dtde​S​ - поток энтропии через границы системы. Производство энтропии выражается через термодинамические силы Xk​ и потоки Jk​: dtdi​S​=k∑​Jk​Xk​≥0. Что-же касается термодинамических потенциалов и их преобразования по методу Лежандра, пожалуй рассмотрим полный набор термодинамических потенциалов где внутренняя энергия U(S, V,{Ni​}): dU=TdS−pdV+i∑​μi​dNi​, энтальпия H=U+pV: dH=TdS+Vdp+i∑​μi​dNi​, свободная энергия Гельмгольца F=U−TS: dF=−SdT−pdV+i∑​μi​dNi​, а потенциал Гиббса G=U−TS+pV: dG=−SdT+Vdp+i∑​μi​dNi​. Заметим, что каждое преобразование Лежандра заменяет одну естественную переменную на её сопряжённую, поэтому переходим к уравнениям состояния реального газа Ван-дер-Ваальса: (p+Vm2​a​) (Vm​−b)=RT, где Vm​ - молярный объём, a и b - константы, учитывающие межмолекулярное взаимодействие и объём молекул. Вблизи критической точки флуктуации параметров состояния становятся существенными... - Гелн! Я вам не мешаю? Как вы собираетесь лететь изучать космос, если даже не понимаете как определить потенциал вашего корабля? Вас затянет в пульсар или черную дыру, а мне потом будут высказывать, что я вас не научил! - Но я же ничего не делал! - Вот именно! А должны... Вообщем выйдете к доске и расскажите нам о дисперсии объема, с учётом постоянной Больцмана. Гелн встал, он был высоким, длинноволосым и подкаченным, из-за чего пользовался репутацией тупого штурмовика, поэтому для всех стало неожиданностью что он перешёл из класса углубленной военной подготовки в класс исследователей космоса, с заявкой на одиночные миссии. - Дисперсия объёма - начал говорить и одновременно с этим записывать на доске - ⟨(ΔV)2⟩ = kB​T(∂p∂V​)T​, где kB​ постоянная Больцмана, в релятивистской термодинамике энергия и импульс образуют 4‑вектор, Pμ=(E/c, p), а температура преобразуется как T′=γ(1 - βcosθ)T​, где: γ=1-β2​1​ фактор Лоренца, β=v/c, а θ угол между скоростью системы и направлением излучения. Энтропия при этом остаётся лоренц‑инвариантом. Таким образом термодинамика - это фундаментальная теория, описывающая поведение сложных систем на макроскопическом уровне, математический аппарат термодинамики требует глубокого понимания дифференциального и тензорного исчисления, переход к неравновесным и релятивистским системам существенно усложняет картину, но открывает новые горизонты для исследований. - А вы не такой дурак как мне показалось сначала... - Задумчиво произнёс профессор - Но чтобы вы впредь не отвлекались ваше личным домашним заданием будет Выведение выражения для производства энтропии в системе с химическими реакциями, учитывая диффузионные потоки. Покажите, что в стационарном состоянии производство энтропии минимально в соответствии с теоремой Пригожина. А мы продолжаем - Профессор перелистнул несколько вкладок на гало-планшете, вспоминая что планировал рассказать, присмотревшись он нашёл нужный пункт и начал - Основы квантовой статистики в плоском пространстве‑времени, начнём с напоминания распределений Бозе‑Эйнштейна и Ферми‑Дирака в плоском пространстве‑времени Минковского. Распределение Бозе‑Эйнштейна для бозонов, если кто-то из вас дебилов не знает это частицы с целым спином: nB​(ε)=e(ε-μ)/kB​T-11​, где nB​(ε) - среднее число частиц в состоянии с энергией ε, μ химический потенциал, kB​ - постоянная Больцмана, а T - абсолютная температура, распределение Ферми‑Дирака для фермионов, частиц с полуцелым спином nF​(ε)=e(ε−μ)/kB​T+11​.Ключевое различие - знак в знаменателе, отражающий принцип Паули для фермионов и возможность бозонов скапливаться в одном состоянии. В искривлённом пространстве‑времени метрика gμν​ уже не Минковская ημν​, а определяется уравнениями Эйнштейна Rμν​−21​gμν​R+Λgμν​=c48πG​Tμν​ где Rμν​ тензор Риччи, R скалярная кривизна, Λ космологическая постоянная, G гравитационная постоянная, а Tμν​ тензор энергии‑импульса. Искривление пространства‑времени влияет на определение энергии частиц, нормировку волновых функций, форму плотности состояний, понятие температуры и химического потенциала, а также модификация распределений в искривлённом пространстве, для учёта кривизны пространства введём локальную инерциальную систему отсчёта или в сокращении ЛИСО в каждой точке, так вот в ЛИСО метрика локально Минковская, но при переходе между точками нужно учитывать параллельный перенос, энергию частицы в гравитационном поле ε=g00​​ε0​, где ε0​ - энергия в отсутствие гравитации, плотность состояний g(ε) в искривлённом пространстве g(ε)dε=(2πℏ)3V​∫p2dpdΩ*-g​, где V - объём, p - импульс, dΩ - элемент телесного угла, g=det(gμν​) - определитель метрического тензора. Таким образом получаем модифицированное распределение Бозе‑Эйнштейна: nB​(ε, xμ)=(2πℏ)3−g​​e(g00​​(ε−μ))/kB​T−11​. Аналогично для Ферми‑Дирака: nF​(ε, xμ)=(2πℏ)3−g​​e(g00​​(ε−μ))/kB​T+11​. - Друлин, скажи-ка мне, что ты знаешь о квантовых полях? - Квантовые поля в искривлённом пространстве и эффект УнруВ искривлённом пространстве где понятие частицы становится неоднозначным? - Да конечно. - Сказал профессор и пригласил её к доске. - Рассмотрим квантование скалярного поля ϕ(x) с действием: S=∫(21​gμν∇μ​ϕ∇ν​ϕ−21​m2ϕ2)−g​d4x, уравнение движения: (□+m2)ϕ=0, где □=∇μ∇μ​ - оператор Даламбера в искривлённом пространстве. Разложим поля по модам ϕ(x)=k∑​(ak​uk​(x)+ak†​uk∗​(x)), где uk​(x) - решения уравнения движения, ak​ и ak†​ - операторы уничтожения и рождения, не стоит также забывать про эффект Унру: ускоренный наблюдатель в плоском пространстве видит тепловое излучение с температурой TU​=2πckB​ℏa​, где a - собственное ускорение. В искривлённом пространстве аналогичный эффект возникает из‑за приливных сил, рассмотрим чёрную дыру Шварцшильда с метрикой: ds2=−(1−c2r2GM​)c2dt2+(1−c2r2GM​)−1dr2+r2dΩ2. Температура Хокинга: TH​=8πGMkB​ℏc3​. Спектр излучения Хокинга описывается распределением Бозе‑Эйнштейна для безмассовых бозонов: dN=eℏω/kB​TH​-1Γω​​2πdω​, где Γω​ - коэффициент поглощения чёрной дыры.Для фермионов спектр аналогичен, но со знаком плюс в знаменателе. Корреляционные функции и флуктуации в искривлённом пространстве, двухточечная корреляционная функция для скалярного поля: G(x, x′)=⟨0∣ϕ(x)ϕ(x′)∣0⟩. В искривлённом пространстве она удовлетворяет уравнению: (□x​+m2)G(x, x′)=−g​−δ4(x−x′)​, флуктуации поля: ⟨ϕ2⟩=x→x′lim​G(x, x′), вблизи сингулярности чёрные дыры флуктуации становятся огромными, что может приводить к эффектам квантовой гравитации. Из чего делаем вывод что квантовая статистика в искривлённом пространстве требует учёта геометрии пространства‑времени через метрический тензор gμν, распределения Бозе‑Эйнштейна и Ферми‑Дирака модифицируются множителями -g​ и g00​​.Понятие частицы становится зависимым от наблюдателя эффект Унру, чёрные дыры излучают как абсолютно чёрное тело с температурой Хокинга, корреляционные функции и флуктуации полей чувствительны к кривизне пространства. - Достаточно. Умница, лучшая студентка... Твоим домашним заданием будет вывести модифицированное распределение Ферми‑Дирака для метрики Рейсснера‑Нордстрема то есть заряженной чёрной дыры, покажите, что в пределе слабого поля g00​≈1+2ϕ/c2 распределения сводятся к обычным, оцените поправку к теплоёмкости фотонного газа в гравитационном поле Земли. Итак приступим к небольшой, но не менее важной теме, а именно стандартной общей теории относительности где пространство‑время описывается римановой геометрией с метрикой gμν, при учёте спина элементарных частиц возникает необходимость расширения до геометрии Римана‑Картана с ненулевым торсионным тензором T μνλ​. Торсионный тензор определяется через антисимметричную часть связности: T μνλ​=Γ[μν]λ​=21​(Γμνλ​−Γνμλ​), где Γμνλ​ - аффинная связность.Связь между торсионом и спином задаётся уравнениями Эйнштейна‑Картана: Rμν​-21​gμν​R=c48πG​Σμν​, Tμνλ​=c48πG​Sμνλ​, где Σμν​ тензор энергии‑импульса, Sμνλ​ тензор спина. - Но вы же уже это рассказывали профессор! - Воскликнул один из студентов - О, молодой человек вы запомнили? Похвально... Но посмотри на лица своих сокурсников, они в большинстве своём, конченные дебилы. Так вот ковариантное дифференцирование в пространстве с торсионом, в присутствии торсиона ковариантная производная модифицируется: ∇μ​Vν=∂μ​Vν+Γμλν​Vλ, где связность теперь включает торсионную часть Γμνλ​={λμν​}+K μνλ​, где {λμν​} это символы Кристоффеля, K μνλ​ - конторсион, связанный с торсионом Kλμν​=21​(Tλμν​−Tμλν​+Tνλμ​). Уравнения движения для полей с учётом спина, рассмотрим уравнение Дирака в искривлённом пространстве с торсионом. Лагранжиан спинорного поля: L=2i​(ψ​γaea μ​∇μ​ψ-(∇μ​ψ​)γaea μ​ψ)-mψ​ψ, где ea μ​ - тетрадные векторы, γa гамма‑матрицы Дирака, ∇μ​ ковариантная производная с учётом торсиона, уравнение движения iγaea μ∇μ​ψ−mψ=0. Для скалярного поля уравнение Клейна‑Гордона модифицируется (□+ξR+ζT2)ϕ=0, где: □=∇μ∇μ​, ξ - параметр неминимальной связи, ζ - константа спин‑торсионного взаимодействия, T2=TμνλTμνλ​. Процедура квантования требует модификации канонических коммутационных соотношений, для спинорного поля {ψα​(x), ψβ†​(y)}=δαβ​δ3(x−y)h​, где h определитель пространственной метрики, вакуумное среднее тензора энергии‑импульса: ⟨0∣Tμν​∣0⟩=(4π)2ℏ​[α1​Rμρνσ​Rρσ+α2​Rμν​R+α3​gμν​R2+β1​T2R+β2​Tρσλ∇ρ​Tσλμ​+…], где αi​, βi​ - перенормировочные константы. Эффекты спин‑торсионных взаимодействий Модификация спектра излучения Хокинга, в чёрной дыре с торсионным полем спектр излучения изменяется: dN=eℏω/kB​TH​−(−1)2sΓω​​(1+ηm2c4ℏ2​T2)2πdω​, где s - спин частицы, η феноменологический параметр, TH​ температура Хокинга, эффект Унру с учётом торсиона, ускоренный наблюдатель в пространстве с торсионом регистрирует: TU​=2πckB​ℏa​(1+κa2T2​), где κ константа связи. Поправки к космологической постоянной, торсионные флуктуации дают вклад в вакуумную энергию: Λeff​=Λ+γ⟨T2⟩, где γ константа размерности [длина]2, перенормировка в теории с торсионом Ультрафиолетовые расходимости требуют модификации процедуры перенормировки. В однопетлевом приближении: Γ(1)=∫d4x−g​[c1​R2+c2​Rμν2​+c3​T4+c4​RT2+…]log​, где коэффициенты ci​ содержат логарифмические расходимости. Бета‑функции для констант связи: β(g)=μdμdg​=−(4π)2b0​​g3+(4π)4b1​​g5+…+δμ2T2​g, где δ вклад торсионных поправок. Таким образом пространство‑время с торсионом требует модификации геометрии и связности, уравнения движения квантовых полей получают дополнительные члены, зависящие от торсиона, процедура квантования и перенормировки усложняется из‑за новых расходимостей, эффекты Хокинга и Унру модифицируются спин‑торсионными взаимодействиями, торсионные флуктуации могут давать вклад в космологическую постоянную, а теория с торсионом потенциально решает проблему сингулярностей чёрных дыр. Выведите уравнение движения для векторного поля в пространстве с торсионом, используя вариационный принцип, покажите, что в пределе слабого торсиона T→0 результаты сводятся к стандартной квантовой теории поля в искривлении. - Всё валите отсюда, дебилы. - С этими словами профессор указал на выход.